ESA151 – ALJABAR LINIER DAN MATRIKS

Materi  10 : Sistem Persamaan Linear minggu_10

MAteri 11 : SPL HOMOGEN minggu 10.lanjutan

Sistem Persamaan Linier Non Homogen
Bentuk umum :  AX = B , dimana : A = bentuk matriks lengkap
X = Variabel
B = konstanta
Metode yang digunakan :
1.Eliminasi biasa
2.Subsitusi
3.Matriks Invers, jika  AX = B maka  X = A invers kali B
4.Aturan Cramer dg syarat Det tidak sama dengan 0
5.Eliminasi Gauss Jordan

Persamaan Garis Lurus pada bidang
1.Persamaan vektor
2.Persamaan Parameter
3.Persamaan Cartesian
Vektor dalam R3
R3 = ( x,y,z ) / x,y,z anggota R )
vektor nol : O = ( 0,0,0 )
Vektor satuan pada x,y,z : i,j,k
i = ( 1,0,0 ) : j = ( 0,1,0 ) : k = ( 0,0,1 )
Perkalian skalar dengan vektor
a = ( x1,y1,z1 ) , c bilangan nyata
c.a = ( cx1,cy1,cz1 )
Panjang, jumlah dan selisih vektor
a=(x,y,z) : b=(x2,y2,z2 ) , a+b , a-b , -a , panj a dsb

materi 12

NILAI KARAKTERISTIK DAN VEKTOR KARAKTERISTIK

T : V → W , diminta untuk mencari nilai karakteristik (λ)Vektor X є Rⁿ  dimana  ax ≠ 0 → vector x disebut vector karakteristik

A. NILAI KARAKTERISTIK

A . X =  λ . X , dimana A = matriks bujursangkar

B.PERSAMAAN KARAKTERISTIK

A . X  =  λ . X → A . X  =  λ I . X → I = vector satuan

λIX  –  AX  =  0 → ( λI  –  A ) X  =  0  disebut  ruang karakterirtik

Determinan  λ I – A  =  0   disebut persamaan karakteristik

materi 13

TRANSFORMASI LINIER

T  disebut  Transformasi Linier jika  T : V → W , dimina W adalah suatu fungsi  dari ruang vector V ke dalam ruang vector W, yang memenuhi batasan :

1.T ( V₁ + V₂ ) =  T ( V₁ ) + T ( V₂ ) ;  dimana  V₁ dan V₂ є Rⁿ

T ( kv ) =  k T ( V ) ; dimana   V→ є Rⁿ dan k bilangan nyata

2.T : V →  W suatu Transformasi linier, dimana  dimensi N(T) disebut nolitas dari T ditulis n(T) sedang dimensi T(V) disebut rank dari T ditulis r(T)

materi 14

BASIS DAN DIMENSI RUANG ATAU VEKTOR

a,b dan c merupakan basis di Rⁿ , bila a,b dan c bebas linier

contoh :  a = ( 2,1 ) ;  b = ( 3,1 ) ;  c = ( 4,1 ). Apakah  a,b dan c merupakan basis di R³

Jawab  :   λ₁a + λ₂b + λ₃c = 0

λ₁   2    +  λ₂    3   +  λ3   4   =  0

1               1               1

(1)    2λ₁ + 3λ₂ + 4λ₃      = 0    x1    → 2λ₁ + 3λ₂ + 4λ₃     = 0

(2)    λ₁    + λ₂   +  λ₃      =  0    x2    →2λ₁ + 2λ₂ +  2λ₃     = 0 → λ₂ + 2λ₃ = 0 → λ₂ = -2λ₃

(3)    λ₁    + λ₂   +  λ₃      =  0 → λ₁ – 2λ₃ + λ₃ = 0 → λ₁ = λ₃ atau λ₁ = λ₃ = – ½ λ₂ ≠ 0

jadi  λ1 = λ3  ;   λ2  =  -2λ3  ;   λ3 = λ3 → mempunyai jawab nontrivial dan a,b,c tidak bebas linier

Karena a,b dan c tidak bebas linier maka a,b dan c bukan merupakan basis di R²

DIMENSI RUANG ATAU VEKTOR

Suatu ruang vector ≠ 0 disebut berdimensi   n  bila basis s = ( v1,v2,v3 …. , vn ) dapat ditulis Dim v = n, untuk ruang vector = 0  maka Dim v = 0, dan apabila tidak ada himpunan yang menjadi basis v maka Dim v = ∞