MATERI 11

 STATISTIKA NON PARAMETRIK I

 Tujuan Instruksional Umum :

1. Mahasiswa mampu memahami apa yang dimaksud dengan Statistika Non Parametrik
2. Mahasiswa mampu memahami kegunaan dari Statistika Non Parametrik
3. Mahasiswa mampu memahami pengujian-pengujian yang dilakukan didalam Statistika Non Parametrik

Tujuan Instruksional Khusus :

1. Mahasiswa mampu untuk menghitung Uji Tanda (Sign Test)
2. Mahasiswa mampu menghitung Uji Mann Whitney
3. Mahasiswa mampu menghitung Uji Wilcoxon (Wilcoxon Rank Test)
4. Mahasiswa mampu menghitung uji Kruskal Wallis

STATISTIKA NON PARAMETRIK I

  A. Pendahuluan

* Metode Non Parametrik = statistic bebas distribusi

* Dua asumsi tentang sampel yaitu :

~ Observasi sampel harus independen dan random

~ Variabel harus continue

* Metode ini berguna apabila sifat observasi datanya hanya dapat dinyatakan dalam urutan (order) atau pangkat (rank) tetapi tidak dapat diukur pada skala kuantitatif.

B. Berbagai Macam Uji Non-Parametrik

1. Pengujian Tanda (the sign test)

Uji Tanda I

• Jika data berbentuk ordinal (peringkat)
• Melihat apakah ada beda sampel yang satu dengan yang lain.
• Pada uji tanda tidak memperhatikan besarnya perbedaan, tetapi hanya tanda “Positip” atau”negatif” dan apabila tidak ada perbedaan diberikan tanda “Nol”.

Langkah-langkah uji tanda

1. Merumuskan hipotesa
2. Memilih taraf nyata atau  a
3. Menghitung frekuensi tanda, yaitu yang mempunyai tanda  + atau – , sementara tanda Nol tidak dipergunakan.
4. Menentukan nilai “r” yaitu jumlah objek yang  memiliki jumlah paling kecil.
5. Menentukan probablitas hasil sampel yang di observasi, dengan rumus:

1. Kesimpulan: Menerima Ho, apabila taraf nyata (a) < probablitas hasil sampel dan menolak Ho apabila taraf nyata (a) > probablitas hasil sampel

a. Pengujian dengan sample kecil

H₀ : P = P₀ atau H₀ : P = 0,50

H₁ : P ≠ P₀ atau H₁ : P ≠ 0,50

Contoh :

Nomor Partai	Jml Produk rusak per partai = X1	Jml Produk rusak per partai = X2	TandaX1 – X2
01	138	135	+
02	135	139	–
03	130	140	–
04	180	165	+
05	146	115	+
06	135	136	–
07	148	135	+
08	165	163	+
09	190	193	–
10	110	85	+
11	137	130	+
12	163	150	+
13	160	162	–
14	129	119	+
15	149	150	–
16	206	173	+
17	165	151	+
18	119	125	–
19	167	155	+
20	125	130	–

1. H₀ : P = 0,50 ;  P > 0,50
2. α = 0,05
3. Stat. Uji : X = S_p = jumlah tanda positif (+)

1. Daerah Kritis :

Dari table binomial kumulatif untuk n = 20, p = 0,5

Nilai yang mendekati α = 0,05 adalah 0,058 untuk X = r = 14

Maka daerah kritis adalah X ≥ 14, tolak H₀

1. Hasil Observasi sampel ialah X = S_p = 12
2. Kesimpulan :

Karena 12 < 14 maka H₀ : P = 0,50 ; H₀ diterima.

Maka tidak cukup alasan guna menolak Hipotesis yang menyatakan bahwa jumlah produk rusak per partai dari hasil penggunaan mesin M₁ dan M₂ adalah identik.

b. Pengujian dengan Sampel Besar ( n > 30)

μ_x = n_p = 20 . 0,50 = 10

1. H_{0 :}  μ_x  = 10  ;  H_{1 :}  μ_x  ≠ 10
2. α = 0,05
3. Daerah Kritis :
4. Stat. Uji : Z =

Z > Z_α/2  dan Z < – Z_α/2  atau

Z > 1,96 dan Z < – 1,96

1. τ_x = √ n_p (1- p)

= √ 20 . 0,5 . 0,5  = 2,23607

Z  = 12 -10     = 0,89443

2,23607

Karena 0,89443 < 1,96 maka kita tidak ada alasan guna menolak H_{0 :}  μ_x  = 10, Maka Hal ini berarti jumlah produk rusak per partai dari kedua mesin adalah identik.

Uji Tanda II

1. Uji Tanda satu sample

Contoh Soal : berikut ini adalah hasil penelitian dari jajak pendapat mengenai lokasi yang diinginkan oleh beberapa pedagang kaki lima

Nomor Pedagang	Lokasi Yang dikehendaki	Tanda
1234567891011121314151617181920	Lokasi baruLokasi baruLokasi lamaLokasi baruLokasi lamaLokasi lamaLokasi baruLokasi lamaLokasi lamaLokasi lamaLokasi baruLokasi baruLokasi lamaLokasi lamaLokasi lamaLokasi baruLokasi lamaLokasi lamaLokasi lamaLokasi baru	++0+00+000++000+000+

Rata-rata :

Standar Deviasi :

Jumlah tanda + = 8.

H0 : diduga jumlah pedagang yang memilih lokasi baru sama dengan jumlah pedagang yang memilih lokasi lama

Ha : Diduga jumlah pedang yang memilih lokasi lama tidak sama dengan jumlah pedangan yang memilih lokasi baru

Kesimpulan : Terima H0

1. Uji Tanda dua sample

Contoh : berikut ini adalah hasil tes statistic mahasiswa dengan dua dosen yang berbeda

Mahasiswa	Dosen A	Dosen B
1234567891011121314151617181920	9085708060557267567882666589758477508897	8075678567507570507480636090808775569087

Mahasiswa	Dosen A	Dosen B	Perbedaan
1234567891011121314151617181920	9085708060557267567882666589758477508897	8075678567507570507480636090808775569087	—++-++—–+++-++-

H0 : Tidak ada perbedaan nilai antara mahasiswa yang diajar dosen A dengan mahasiswa yang diajar dosen B

Ha : Tidak ada perbedaan nilai antara mahasiswa yang diajar dosen A dengan mahasiswa yang diajar dosen B

2.  Pengujian Pangkat Bertanda ( Wilcoxon’s signed rank test)

1. Uji Tanda Wilcoxon hanya melihat perbedaan dan arah tanpa melihat besarnya perbedaan.
2. Berikut adalah langkah-langkah dalam  Wilcoxon Signed-rank test

Langkah – Langkah :

1. Merumuskan hipotesa
2. Menentukan nilai kritis. Nilai kritis diperoleh dengan mempergunakan tabel uji  peringkat bertanda Wilcoxon. Dan sebelumnya memilih taraf nyata (merupakan tingkat toleransi terhadap kesalahan kita terhadap sampel =  a).
3. Menentukan nilai statistik Wilcoxon, dengan cara :

–     Membuat perbedaan data berpasangan tanpa memperhatikan tanda.

–     Memberikan ranking, tanpa memperhatikan tanda

–     Memisahkan nilai ranking yang positif dan negatif.

–     Menjumlahkan nilai rangking  yang positif dan negatif. Nilai terkecil merupakan nilai statistik Wilcoxon.

1. Menentukan keputusan. Jika nilai statistik Wilcoxon < nilai kristis, maka Tolak Ho dan terima H1, begitu sebaliknya.

a. Pengujian dengan Sampel Kecil

Contoh :

Nomor Pas	Jml. Produk rusak dari M1 & M2	Pangkat Bertanda = τ
X1	X2	X1 – X2	Pangkat	Negatif	Positif
01	138	135	+3	5,5		+5,5
02	135	139	-4	7	-7
03	130	140	-10	11,5	-11,5
04	180	165	+15	17		+17
05	146	115	+31	19		+19
06	135	136	-1	1,5	-1,5
07	148	135	+13	14,5		+14,5
08	165	163	+2	3,5		+3,5
09	190	193	-3	5,5	-5,5
10	110	85	+2,5	18		+18
11	137	130	+7	10		+10
12	163	150	+13	14,5		+14,5
13	160	162	-2	3,5	-3,5
14	129	119	+10	11,5		+11,5
15	149	150	-1	1,5	-1,5
16	206	173	+33	20		+20
17	165	151	+14	16		+16
18	119	125	-6	9	-9
19	167	155	+12	13		+13
20	125	130	-5	8	-8
	-47,5	+162,5

Uji Hipotesa :

1. H₀ : Jml produk rusak per partai M₁ = Jml Produk rusak per partai M₂

H₁ : Jml produk rusak per partai M₁ ≠ Jml Produk rusak per partai M₂

1. α = 0,05
2. Stat. Uji τ : hasil penjumlahan yang terkecil dari nilai –nilai pangkat bertanda yang sama.

Untuk contoh soal : τ = 47,5

1. Daerah Kritis :

Untuk n = 20, α = 0,05 ; pada tabel XIII, secara dua arah sehingga nilai kritisnya adalah 52.

Maka daerah Kritis : τ_hit  ≤ 52, H₀ ditolak.

1. Hasil Observasi Sampel :

τ = 47,5 , karena τ_hit  < 52 maka H₀ ditolak

1. Kesimpulan : Jml produk rusak per partai dari M₁ ≠ Jml Produk rusak per partai dari M₂

b. Pengujian dengan Sampel Besar

Jika pasangan n ternyata sama = atau lebih besar daripada 8 maka distr. Var. Random τ akan kurang lebih normal dengan rata-rata :

E (τ ) = n (n+1)

4

∂ (τ ) = √ n (n+1) (2n+1)

24

Stat.Uji : Z = τ – E (τ )

∂ (τ )

Contoh :

1. H₀ : Jml produk rusak per partai M₁ = Jml Produk rusak per partai M₂
2. H₁ : Jml produk rusak per partai M₁ ≠ Jml Produk rusak per partai M₂
3. α = 0,05
4. Stat. Uji : Z = τ – E (τ )

∂ (τ )

1. Daerah Kritis :

Z > Z_α/2  dan Z < – Z_α/2  atau

Z > 1,96 dan Z < – 1,96

1. E (τ ) = 20 (20 +1) = 105

4

∂ (τ ) = √{20(20+1)} {2 (20+1)}

24

= 26,7862

Z  =  47,5 – 105  =  -2,33329

26,7862

Karena – 2,33329 > -1,96 maka kita seharusnya menolak hipotesis yang menyatakan bahwa Jml produk rusak per partai dri M₁ sama dengan Jml Produk rusak per partai dari M₂ .

3. Pengujian Mann-Withney U

Untuk menguji hipotesis nol yang menyatakan bahwa tidak ada perbedaan yang sesungguhnya antara kedua kelompok data dan dimana data tersebut diambil dari dua sampel yang tidak saling terkait.

Prosedur pengujian Mann – Whitney

1. Menyatakan hipotesis dan α
2. Menyusun peringkat data tanpa memperhatikan kategori sample
3. Menjumlahkan peringkat menurut tiap kategori sample dan menghitung statistik U.

Stat.

atau

dimana :

R₁ : jml peringkat yang diberikan pada sampel dengan jml n₁

R₂ : jml peringkat yang diberikan pada sampel dengan jml n₂

~ Penarikan kesimpulan statistik mengenai hipotesis nol.

Contoh :

Gaji sarjana yang berkonsentrasi di bidang manajemen pemasaran dan sarjana yang berkonsentrasi di bidang keuangan yang telah lulus 10 tahun lalu, diberikan dalam tabel berikut :

Konsentrasi Pemasaran	Pendapatan tahunan (ribuan)	Peringkat pendapatan	Konsentrasi keuangan	Pendapatan tahunan (ribuan)	Peringkat pendapatan
Ali	22,4 (14)	14	Lee	21,9 (13)	13
Ani	17,8 (3)	2	Leman	16,8 (1)	1
Ira	26,5 (15)	15	Frank	28,0 (16)	16
Sari	19,3 (7)	7	David	19,5 (9)	9
Tomi	18,2 (5)	4,5	Toni	18,2 (4)	4,5
Budi	21,1 (12)	12	Sam	17,9 (3)	3
Fani	19,7 (10)	10	Carter	35,8 (17)	17
Kiki	43,5 (18)	18	Wati	20,5 (11)	11
			Tita	18,7 (6)	6
			Laura	19,4 (8)	8
n1 = 8		R1 = 82,5	n2 = 10		R2 = 88,5

1. H₀ :  Gaji alumni dari kedua konsentrasi sama

H₁ :  Gaji alumni dari konsentrasi pemasaran lebih tinggi daripada konsentrasi    keuangan

1. α = 0,01
2. Uji Stat :

µ = 8.10 + 8.9 – 82,5 = 33,5

2

atau

µ = 8.10 + 10.11 – 88,5 = 46,5

2

Nilai µ terkecil = n₁n₂ – nilai µ terbesar

= 8.10 – 46,5

= 33,5

1. Daerah Kritis :

µ terkecil ≤ nilai dalam tabel µ , tolak H₀

1. Kesimpulan : karena 33,5 > 13, maka terima H₀.

Maka tidak terdapat perbedaan gaji yang nyata antara alumni konsentrasi pemasaran dan alumni konsentrasi keuangan.

Uji Mann Whitney II

Rata-rata Populasi:

Standard Deviasi

Rata-rata Sampel :

dan  dipilih yang nilainya paling kecil

Z hitung :

Contoh : berikut ini adalah data penjualan setelah beriklan di TV dan setelah beriklan diradio.

Toko	Radio	TV
ABCDEFGHIJKLMOPQRST	707269687173757776807990919495969799100	20(2)2321(3)19(1)242726252830293733313234363940

H0: tidak terdapat perbedaan jumlah penjualan setelah beriklan di TV dengan Radio

Ha: terdapat perbedaan jumlah penjualan setelah beriklan di TV dengan Radio

Ranking :

Toko	Radio	TV
ABCDEFGHIJKLMOPQRST	707269687173757776807990919495969799100	20232119242726252830293733313234363940

Kesimpulan : Terima Ha

LAtihan Soal

Contoh : berikut ini adalah data nilai kinerja dari dua kelompok karyawan yang sudah ditraining dan yang belum di training

Sudah ditraining(6 Karyawan)	Belum Ditraining(7 Karyawan)
786789908976	67658090747782

Apakah terdapat perbedaan penilaian kinerja antara karyawan yang sudah ditraining dengan karywan yang belum ditraining ?

4. Pengujian Kruskal-Wallis

Merupakan generalisasi uji dua sampel Wilcoxon untuk k > 2 sampel. Uji ini digunakan untuk menguji hipotesis nol (H₀) bahwa k contoh bebas (sampel bebas) itu berasal dari populasi yang identik.

k

                        h =     12          Σ          r_i²   –  3 (n+1)

                                n (n+1)    i=1       n₁

bila h > X²_{α, k-1} maka H₀ ditolak pada taraf nyata α ,bila h ≤ X²_{α, k-1} terima H₀ .

Contoh :

Dalam percobaan untuk menentukan sistem peluru kendali yang terbaik, dilakukan pengukuran pada laju pembakaran bahan bakarnya. Datanya setelah dikodekan diberikan dalam tabel berikut. Gunakan uji Kruskal Wallis dan taraf nyata 0,05 untuk menguji hipotesis bahwa laju pembakaran bahan bakar sama untuk ketiga sistem tersebut.

Jawab :

Laju pembakaran bahan bakar

Sistem Peluru Kendali
1	2	3
24,0	23,2	18,4
16,7	19,8	19,1
22,8	18,1	17,3
19,8	17,6	17,3
18,9	20,2	19,7
	17,8	18,9
		18,8
		19,3

1. H₀ : µ₁ = µ₂ = µ₃                        H₁ : ketiga nilai tengah tidak semuanya sama.

2. α = 0,05

3. Daerah Kritis : h > X²_{0,05 ; 3-1} = 5,991

4. Uji Stat :  dalam tabel diatas kita ubah pengamatan itu menjadi peringkat dan kemudian menjumlahkan semua peringkat untuk masing-masing sistem.

  Peringkat bagi Data Laju pembakaran bahan bakar

Sistem Peluru Kendali
1	2	3
19	18	7
1	14,5	11
17	6	2,5
14,5	4	2,5
9,5	16	13
r1 = 61,0	5	9,5
R2 = 63,5	8
12
r3 = 65,5

n₁ = 5 , n₂ = 6 , n₃ = 8

r₁ = 61  ;  r₂ = 63,5  ;  r₃ = 65,5

maka diperoleh nilai uji stat :

h =   12       [ 61²  +  63,5² +  65,5² ] – (3) (20)

19.20       5           6             8

= 1,66

5. Kesimpulan :

Karena h = 1,66 tidak jatuh dalam daerah kritis yaitu h > 5,991 berarti kita tidak mempunyai bukti yang cukup untuk menolak hipotesis bahwa laju pembakaran bahan bakar sama untuk ketiga sistem peluru kendali itu.

Uji Kruskal Walis II

H 0 : tidak terdapat perbedaan dari k kelompok sample

Ha : terdapat perbedaan dari k kelompok sample

Dengan menggunakan table Chi Square ( df = k -1)

Contoh :

Beriut ini adalah jumlah output yang dihasilkan oleh 3 kelompok karyawan, yang belum ditraining, yang sedang diraining dan yang sudah ditraining

Belum diraining(5 karyawan)	Sedang ditraining(5 karyawan)	Sudah ditraining(4 karyawan)
961288361101	82124132135109	114149166147

Ranking :

Belum ditraining(5 karyawan)	Sedang ditraining(5 karyawan)	Sudah ditraining(4 karyawan)
96(4)128(9)83(3)61(1)101(5)	82(2)124(8)132(10)135(11)109(6)	114(7)149(13)166(14)147(12)

H0 :

Ha :

Chi Square table :

Kesimpulan :