BAHAN PRESENTASI

BAHAN PRESENTASI :

BAHAN PRESENTASI

  1. PPT UEU – Statistik 2 – 1
  2. PPT UEU – Statistik 2 – 2
  3. PPT UEU – Statistik 2 – 3

BAHAN PRESENTASI BU ARI:

kontrak_pembelajaran stat 2

  1. pERTEMUAN 1
  2. pERTEMUAN 2
  3. PERTEMUAN 3
  4. PERTEMUAN 3-4
  5. PERTEMUAN4chIsQUARE 1
  6. pERTEMUAN4cHisQUARE 2
  7. PERTEMUAN 5
  8. PERTEMUAN 5-6
  9. Korelasi dan Regesi sederhana
  10. Regresi berganda
  11. UTS
  12. noNpaRUji Tanda, Wilcoxonl.Rev.2.
  13. nONpaRUji Kruskal.Rev.2.
  14. nONpar.Rank-corelation.
  15. nONpar.Rank-corelation.
  16. nONpaR.Kolmogorv
  17. nONPAR.Kendal.
  18. nONpaR Kendal.
  19. nONpar Kendal.2
  20. nONpaR.Kolmogorv
  21. DECISION MAKING THEORY I
  22. Decision making Theory.1
  23. Deccision making Theory 2.
  24. Decision making Theory.3.
  25. Quality Control
  26. Statistic
  27. Quality Control

BAHAN PRESENTASI SEMESTER GANJIL

BAHAN PRESENTASI :

  1. Statistik 2 Pertemuan 1
  2. Statistik 2 Pertemuan 2
  3. Statistik 2 Pertemuan 3
  4. Statistik 2 Pertemuan 4
  5. Statistik 2 Pertemuan 5
  6. Statistik 2 Pertemuan 6
  7. Statistik 2 Pertemuan 7
  8. Statistik 2 Pertemuan 8
  9. Statistik 2 Pertemuan 9
  10. Statistik 2 Pertemuan 10
  11. Statistik 2 Pertemuan 11
  12. Topik 12
  13. Topik 13
  14. Topik 14

BAHAN PENGAYAAN :

  1. Blog Dosen 1
  2. Blog Dosen 2
  3. Blog Dosen 3

DAFTAR PUSTAKA :

  1. Buku 1
  2. Buku 2
  3. Buku 3

PENILAIAN :

  1. Kehadiran : 10%
  2. Tugas : 20%
  3. UTS : 30%
  4. UAS : 40%

MATERI 14

Koefisien Korelasi Peringkat spearman
Koefisien korelasi peringkat Spearman adalah ukuran erat tidaknya kaitan antara dua variabel ordinal artinya merupakan ukuran atas dasar/derajat hubungan antara data yang telah disusun menurut peringkat ( rank data ).
Koefisien korelasi ( r ) dihitung dengan menggunakan nilai aktual dari X dan Y, sedang koefisien Spearman ( rs ) yang akan kita bicarakan berikut dengan menggunakan nilai peringkat untuk X dan Y dan bukan nilai aktual.
Prosedur Penghitungan Koefisien Korelasi peringkat Spearman
1.Menyusun peringkat data
2.Menghitung perbedaan antara pasangan peringkat, kemudian perhitungan
sistematis atas perbedaan peringkat.
3.Menghitung rs ( Koefisien korelasi spearman )
Menguji Signifikasi rs
Pengujian yang lebih normal bisa dilaksanakan untuk menentukan apakah benar-benar ada hubungan statistik seperti diisyaratkan oleh rs

MATERI 13

Metode Statistik Non Parametrik
A. Penggunaan Metode Non Parametrik
1.Apabila ukuran sampel demikian kecil sehingga distribusi statistik
pengambilan sampel tidak mendekati normal, dan apabila tidak ada
asumsi yang dapat dibuat tentang bentuk distribusi populasi yang
menjadi sumber sampel2.Apabila digunakan data peringkat atau ordinal3.Apabila data nominal digunakan
B. Uji Peringkat bertanda Wilcoxon
Prosedurnya sbb :1. Menyatakan Hipotesis dan tingkat kesalahan2. Menentukan besar dan tanda perbedaan antara pasangan data3. Menyususn peringkat perbedaan tanpa memperhatikan tanda4 .Pemberian tanda atas peringkat yang telah ditetapkan5. Menjumlahkan peringkat6. Penarikan kesimpulan statistik tentang hipotesis nol
C. Pengujian Mann – Whitney
Prosedurnya sbb :1. Menyatakan Hipotesis dan tingkat kesalahan2. Menyususn peringkat data tanpa memperhatikan kategori
sampel3. Meenjumlahkan peringkat menurut tiap kategori sampel
dan menghitung statistik U

MATERI 12

Pengujian Hipotesis tentang koefisien korelasi dan Analisis varians
Pengujian Hipotesis tentang p ( koefisien korelasi ) dituliskan sbb :
Ho : p = 0 ( tak ada hubungan antara X dan Y )
Ha : p > 0 ( ada hubungan X dan Y positif )
Ha : p < 0 ( ada hubungan X dan Y negatif )
Ha : p # 0 ( ada hubungan )
Uji Statistiknya :
to  =  r . Vn-2 / V(1-r2) , dimana : r = sigma xy / Vx2 . Vy2
Pengujian Hipotesis tentang Varians
Pengetahuan tentang varians yang dipergunakan sebagai ukuran variasi dari suatu kumpulan nilai hasil observasi. Seperti kita ketahui kalau suatu sampel acak ditarik dari suatu populasi dengan distribusi normal maka rasio :    ( n – 1 ) S2  /  simpangan baku kuadrat., yang mengikuti funsi Kai kuadrat dengan derajat kebebasan ( n – 1 )

MATERI 11

Pendugaan dan Pengujian Regresi Linier sederhana
A. Model Regresi Linier sederhana
Y = a + bX , dimana  Y = variabel dependent
X = variabel independent
a = konstanta
b = kemiringan / sloop
B.Perkiraan parameter A dan B dengan mempergunakan metode kuadrat terkecil adalah sbb  :
1,Pendugaan interval B regresi linier sederhana
b – t  alpha/2 . Sb  < B <  b + t  alpha/2 . Sb
2.Pendugaan interval A regresi linier sederhana
a – t  alpha/2 . Sa  < A <  a   + t  alpha/2 . Sa
C,Pengujian Hipotesis Regresi Linier sederhana
Pada umumnya hipotesis dirumuskan sbb :
Ho  :  B = Bo ( Bo mewakili nilai B yang tertentu sesuai dengan hipotesis)
kalau ada pendapat yang mengatakan bahwa X tidak
mempengaruhi Y maka Bo = 0
Ha  :  B > Bo ( pengaruh X terhadap Y positif )
Ha  :  B < Bo ( pengaruh X terhadap Y negatif )
Ha  :  B # Bo ( artinya X mempengaruhi Y )
Uji Statistiknya :
to  = (  b – Bo  ) / Sb ; kalau Bo = 0 maka  to  =  b / Sb
D. Pengujian Hipotesis dilakukan sebagai berikut :
Apabila t hitung > t tabel , Ho ditolak dan kalau t hitung < t tabel , Ho
tidak ditolak/ diterima

PENGUJIAN HIPOTESIS

PENGUJIAN HIPOTESIS

Tujuan Instruksional Umum :

  1. Mahasiswa mampu memahami apa yang dimaksud dengan Hipotesis atau dugaan sementara
  2. Mahasiswa mampu memahami berbagai pengujian hipotesis
  3. Mahasiswa mampu memahami pengujian hipotesis untuk sample besar dan sample kecil

Tujuan Instruksional Khusus :

  1. Mahasiswa mampu untuk membuat hipotesis nol dan hipotesis alternative baik untuk satu arah maupun untuk dua arah
  2. Mahasiswa mampu menghitung pengujian hipotesis untuk satu rata-rata dan dua rata-rata untuk data dengan sample besar dan kecil
  3. Mahasiswa mampu menghitung pengujian hipotesis untuk satu proporsi, dua proporsi dan lebih dari tiga proporsi untuk data dengan sample besar dan kecil

Pertemuan minggu ke 1 dan 2.

BAB 1 : PENGUJIAN HIPOTESIS

A. Pendahuluan

Hipotesis pada dasarnya merupakan suatu proposisi atau anggapan yang mungkin benar dan sering digunakan sebagai dasar pembuatan keputusan atau pemecahan persoalan untuk dasar penelitian lebih lanjut.

B. Jenis Kesalahan (Type of Error)

Ada dua jenis kesalahan yang bias terjadi di dalam pengujian hipotesis. Kesalahan bisa terjadi karena kita menolak hipotesis nol padahal hipotesis nol itu benar atau menerima hipotesis nol padahal hipotesis nol itu salah. Kesalahan yang disebabkan karena kita menolak hipotesis nol padahal hipotesis nol itu benar disebut kesalahan jenis pertama atau type 1 error. Sebaliknya kesalahan yang disebabkan karena kita menerima hipotesis nol padahal hipotesis itu salah disebut kesalahan jenis 2 atau type 2 error.

         Situasi

Keputusan

Ho Benar

Ho Salah

Terima HoKeputusan tepat (1 – α)Kesalahan jenis 2 (β)Tolak HoKesalahan jenis 1 (α)Keputusan tepat (1 – β)

C. Perumusan Hipotesis

Hipotesis yang berupa anggapan/pendapat dapat didasarkan atas :

a)      Teori

b)      Pengalaman

c)      Ketajaman berpikir. Orang yang cerdas sering mempunyai pendapat tentang pemecahan suatu persoalan

Hipotesis dinyatakan dalam Ho dan Ha atau H1 sebagai alternatifnya. Ho selalu dinyatakan dalam bentuk :

Ho ; d = 0

dan hipotesis alternatif mempunyai bentuk

a)      H1 ; d < 0

b)      H1 ; d > 0

c)      H1 ; d ≠ 0

(a)dan (b) disebut pengujian satu arah (one tail) dan (c) disebut pengujian dua arah (two tail test).

Gambar pengujian dua arah :

D. Pengujian Hipotesis Tentang Rata-rata

1. Pengujian Hipotesis Satu Rata-rata

Urutan yang perlu diperhatikan dalam pengujian hipotesis tentang satu rata-   rata adalah sebagai berikut :

  1.                     i.      Rumuskan hipotesis

H0  : μ = μ0

H1  : μ < μ0  atau  μ  > µ0   atau   μ ≠ µ0

  1.                   ii.            Tentukan nilai α = tingkat nyata (significan level) = probabilitas untuk melakukan kesalahan jenis I dan cari nilai Zα atau Zα/2dari Tabel Normal
    1.                 iii.            Hitung Z0  sebagai kriteria pengujian, rumus

untuk n ≥30

Jika n < 30 maka Z0, Zαatau Zα/2  diganti dengan t0, tαatau tα/2.

Dengan rumus to adalah :

Dengan derajat kebebasan n – 1.

  1.                 iv.             Pengujian hipotesis dan pengambilan kesimpulan
  2. H0 : μ = μ0   apabila  Z0 > Zα,  Ho ditolak

H1  : μ > μ0  apabila  Z0 ≤ Zα,  Ho diterima

  1. H0 : μ = μ0   apabila  Z0 < – Zα,  Ho ditolak

H1 : μ < μ0  apabila  Z0 ≥ – Zα,  Ho diterima

  1. H0 : μ = μ0   apabila  Z0 > Zα/2 atauZ0 < -Zα/2, Ho ditolak

H1 : μ ≠ μ0  apabila  -Zα/2 ≤ Z0 ≤ Zα/2, Ho diterima

Contoh 1:

Sebuah perusahaan alat olah raga mengembangkan jenis batang pancing sintetik, yang dikatakan mempunyai kekuatan dengan rata-rata 8 kg dan simpangan baku 0,5 kg. Ujilah hipotesa yang menyatakan bahwa rata-rata kekuatan batang pancing adalah 8 kg dengan alternative lebih besar dari 8 kg bila suatu sample 50 batang pancing itu setelah dites memberikan kekuatan rata-rata 8,4 kg.  Gunakan α = 5%.

Jawab :

H0 : μ = 8 kg

H1 : μ > 8 kg

α = 5%, Zα= 1,64 dari tabel normal

=

α = 5%

Z0 =  5,6
Z = 1,64

Oleh karena Z0 > Zα, maka H0 ditolak, yang berarti bahwa rata-rata kekuatan batang pancing adalah lebih dari 8 kg.

Contoh 2:

Waktu rata-rata yang diperlukan permahasiswa untuk mendaftar ulang pada semester ganjil di suatu perguruan tinggi adalah 20 menit dengan simpangan baku 5 menit. Suatu prosedur pendaftaran baru yang menggunakan mesin antrian sedang dicoba. Bila sample 12 mahasiswa memerlukan waktu pendaftaran rata-rata 8 menit dengan simpangan baku 3,2 menit dengan system baru tersebut, ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa rata-ratanya sekarang tidak sama dengan 20 menit. Gunakan α = 5%.

Jawab :

n = 12,  = 8 menit, s =3,2 menit, µo  = 20 menit

H0 : μ = 20 menit

H1 : μ ≠ 20 menit

=

α = 0,05 dan derajat kebebasan = n – 1 = 12 – 1 = 11

t α/2(n -1) =t 0,025(11) = 2,2010 dan – t 0,025(11)  = – 2,2010

Daerah Kritis :

        – 2,2010       2,2010

Kesimpulan :

Karena t0 = – 12,9 < -tα/2 – -2,2010 maka H0 ditolak. Berarti bahwa rata-rata lamanya pendaftaran studi dengan menggunakan mesin antrian tidak sama dengan 20 menit, bahkan hanya membutuhkan waktu 8 menit, jadi sebaiknya diberlakukan system pendaftaran yang baru dengan mesin antrian.

  1. 2.   Pengujian Hipotesis Dua Rata – rata.

Dalam praktek, seringkali ingin diketahui apakah ada perbedaan yang berarti dari dua rata-rata populasi. Misalnya

  1. Kecepatan dalam mengerjakan suatu pekerjaan antara pekerja pria dan  wanita
  2. Kekuatan dua jenis besi berani
  3. Lamanya menyala bola lampu merek A dan B

Perumusan Hipotesisnya adalah sebagai berikut :

H0 : μ1 – μ2  = 0 atau μ1 = μ2  (Tidak adaperbedaan, atau sama)

(1)   Ha : μ1 – μ2  > 0 (ada perbedaan μ1 > μ2 )

(2)   Ha : μ1 – μ2  < 0 (ada perbedaan μ1 < μ2 )

(3)   Ha : μ1 – μ2  ≠ 0 (μ1 berbeda dengan μ2 )

a). Bila n > 30 (sample besar)

Z0 =            =jika

b). Bila n ≤ 30 (sample kecil)

t0  =

t0  mempunyai distribusi t dengan derajat kebebasan sebesar n1 + n2 -2.

Contoh :

Seorang pemilik toko yang menjual 2 macam bola lampu merek A dan B, berpendapat bahwa tak ada perbedaan rata-rata lamanya menyala bola lampu kedua merek tersebut dengan alternative ada perbedaan. Untuk menguji pendapatnya dilakukan percobaan dengan menyalakan 100 buah bola lampu merek A dan 50 buah bola lampu merek B, sebagai sample acak. Ternyata bola lampu merek A dapat menyala rata-rata selama 952 jam, sedangkan merek B 987 jam, masing-masing dengan simpangan baku sebesar 85 jam dan 92 jam. Dengan menggunakan α = 5%, ujilah pendapat tersebut.

Jawab :

H0 : μ1 – μ2  = 0

Ha : μ1 – μ2  ≠ 0

n1 = 100, = 952, σ1 = 85

n2 =   50, = 987, σ2 = 92

n2 =   50, = 987, σ2 = 92

Z0 =  =

Untuk α = 5%, Z α/2 = 1,96

-Zα/2 = -1,96Zα/2 = 1,96

Kesimpulan :

Karena Z0 = -2,25 < -Zα/2 = – 1,96 maka H0 ditolak. Berarti rata-rata lamanya menyala bola lampu dari kedua merek tersebut tidak sama.

3. Pengujian Hipotesis Rata-rata, Variance Tidak Diketahui

a. Uji  beda rata-rata sampel besar (n >30). ((s1 ¹s2 tidak diketahui)

Digunakan rumus:

s2= Varian sample

Kasus: “Pendapatan sebelum dan sesudah promosi sama??

Anda disuruh untuk menguji pernyataan tersebut, pada a = 5 %, kemudian anda mengamati selama 36 hari sebelum ada promosi, dengan rata-rata penjualan Rp. 13,17 dan standar deviasi Rp. 2,09. Setelah ada promosi: Rata-rata pendapatan Rp 7,55 dan St.deviasi Rp. 1,09.

Langkah Pengujian hipotesa:

1. Merumuskan hipotesa:

Ho =  m1 – m2 = 0

Ha =  m1 – m2 ¹ 0

2. Menentukan taraf nyata ( 5%). Nilai kritis Za/2 = Z0,025 =1,96

Lihat tabel luas wilayah kurva normal.

Z

-1,96                  1,96

3. Alat Uji

=   13,95

4. Kriteria

Lihat kurva diatas.

Tolak Ho                                                          Tolak Ho

Z

-1,96                 1,96

5. Keputusan

Tolak Ho, artinya tidak cukup bukti untuk mendukung pernyataan diatas, yang mengatakan, bahwa rata-rata pendapatan perusahaan sebelum dan sesudah promosi sama

b. Uji  beda rata-rata sampel kecil (n <30). (s1 ¹s2 tidak diketahui)

Digunakan rumus:

Ujilah pernyataan: Obat “X” dan obat “Y” memiliki efek yang sama  terhadap  penurunan berat badan?

Obat “X”
Ana5.5
Ani6.0
Anu4.0
Ano4.0
Ane4.5
Bada5.0
Badi5.0
Badu5.5
Bado5.5
Bade5.0
Obat “Y”
DONA5.0
DONI5.5
DONU5.0
DONO4.0
DONE3.5
TOGA3.0
TOGI3.5
TOGU4.0
TOGO4.0
TOGE3.5

Langkah-langkah pengujian hipothesis

1. Rumuskan Hipothesis:

Ho = 0 : Obat “X” dan “Y” memiliki efek yang sama terhadap penurunan berat badan.

Ha ¹ 0: Obat “X” dan “Y” memiliki efek  yang TIDAK sama  terhadap penurunan berat badan.

2. Menentukan Taraf nyata (a) = 5 %

3. Memilih Statistik Uji yang sesuai

Mencari T hitung

dimana derajat bebas db= (n1 +n2) –  2 ,  Sebesar 2,1009

4. Menentukan kriteria keputusan

Tolak Ho

– ta/2= – 2,1                   ta/2= 2,1        t hit= 2,714

5. Keputusan

Tolak Ho, sehingga pernyataan kedua jenis obat tersebut memberi efek penurunan berat badan yang sama tidak dapat diterima.

4. Pengujian Hipotesis Rata-rata Data Berpasangan

Data berpasangan adalah data yang memiliki dua perlakuan berbeda pada objek atau sampel yang sama

Misalnya.

Pengaruh Produktivitas sebelum dan sesudah pelatihan bagi Badu. Jadi disini ada dua perlakuan, pada sampel yang sama. Data seperti ini disebut data tidak bebas atau non-independent.

Alat Uji Statistik

Dengan standar deviasi,

Dimana,

t     : Nilai distribusi t

: Nilai rata-rata perbedaan antara pengamatan berpasangan

Sd  : Standar deviasi dari perbedaan antara pengamatan berpasangan

n    : Jumlah pengamatan berpasangan

d    : Perbedaan antara data berpasangan

Kasus. Bagaimana dampak Bom di Indonesia terhadap harga saham?

PrshHarga Sebelum bomHrg. sesudah Bom
A95
B55
C76
D64
E86
F74
G42
H41
I33
J76

Penyelesaian:

1. Perumusan Hipotesa

Ho : md = 0

Ha : md ¹ 0

2.Menentukan taraf nyata 5 %. Nilai t-Student dengan taraf nyata % % uji satu arah dengan derajat bebas(db) n-1 = 9 adalah 2,262

3. Melakukan Uji statistik

SebelumSesudahdd2
95-416
5500
76-11
64-24
86-24
74-39
42-24
41-39
3300
76-11

→

→

Kriteria Keputusan

Tolak Ho

– 0,432    1,833

Keputusan

Tolak Ho (md = 0) berati terima Ha (md ¹ 0) Berarti harga saham sebelum dan sesudah ada bom tidak sama.

5. Pengujian Hipotesis untuk Proporsi

  1. a.      Pengujian Hipotesis untuk Satu Proporsi

Dalam praktek, yang harus diuji seringkali berupa pendapat tentang proporsi (persentase). Misalnya persentase barang yang rusak = 10%, nasabah yang tidak puas = 25%, penduduk suatu daerah yang buta huruf = 15%, dan lain sebagainya. Pengujian hipotesis dinyatakan dalam proporsi.

Perumusan hipotesis sebagai berikut :

H0 : p = p0

H1 : p > p0, atau p < p0, atau p ≠ p0

Cara pengujiannya sama dengan pengujian rata-rata.

Z 0  =

Dimana :  n = banyaknya elemen sample

X = banyaknya elemen sample dengan karakteristik tertentu

P0 = proporsi hipotesis.

Contoh soal :

Seorang pemborong menyatakan bahwa di 70% rumah-rumah yang baru dibangun di kotaYogyakartadipasang suatu alat pendeteksi gempa bumi. Apakah anda setuju dengan pernyataan tersebut bila diantara 15 rumah baru yang diambil sebagai sample secara acak ternyata terdapat 8 rumah yang menggunakan alat pendeteksi gempa bumi tersebut. Gunakan taraf nyata 0,10.

Jawab :

X = rumah yang menggunakan alat pendeteksi gempa bumi = 8

n = 15

H0 :  p0  = 0,7

H1 :  p0  ≠ 0,7

α = 0,10, maka Zα/2 = Z0,05 = 1,645

Z0 = 

Daerah kritis :

Kesimpulan :

Karena Z0  terletak antara –Zα/2  dan Zα/2  maka terima H0, yang berarti bahwa tidak ada alasan yang kuat untuk meragukan pernyataan pemborong di atas.

b. Pengujian Hipotesis untuk Dua Proporsi

Untuk menguji proporsi dari dua populasi digunakan suatu pengujian hipotesis yang menggunakan perumusan hipotesis sebagai berikut :

H0 : p1 – p2 = 0 atau p1 = p2   dengan

H1 : p1 – p2 > 0 atau p1 > p2

p1 – p2  < 0 atau p1 < p2

p1 – p2  ≠ 0 atau p1 ≠ p2

Dengan rumus untuk

Z0 =

Contoh :

Sebuah pabrik rokok memproduksi dua merek rokok yang berbeda. Ternyata 56 orang diantara 200 perokok menyukai merek A dan 29 diantara 150 perokok menyukai merk B. Dapatkah kita menyimpulkan pada taraf nyata 0,06 bahwa merek A terjual lebih banyak daripada merek B?

Jawab :

p1 = ; p2 =

H0 : p1 – p2 = 0 atau p1 = p2

H1 : p1 – p2 > 0 atau p1 > p2

α = 0,06, Zα = 1,55

Z0 =

Z0 =

Daerah kritis

Z = 1,55    Z = 40,18

Kesimpulan :

Karena Z0 = 40,18 > Zα = 1,55 maka tolak H0. Yang berarti proporsi penjualan rokok merek A lebih banyak daripada penjualan rokok merek B.

MATERI 9

Bab 9 Pengujian Hipotesis Tentang Varians

Pengujian Hipotesis tentang Varians

Varians dipergunakan sebagai ukuran variasi dari suatu kumpu

lan nilai hasil observasi, sangat penting untuk diketahui.

Ingat bahwa akar dari varians merupakan simpangan baku.

Seperti kita ketahui kalau suatu sampel acak ditarik dari suatu populasi dengan distribusi normal, maka rasio :

( n – 1 ) s2   /  σ2   =  X (kai)2 ( n – 1 )

Mengikuti fungsi kai kuadrat dengan derajat kebebasan (n-1)

Rasio tersebut digunakan sebagai dasar pengujian hipotesis.

Perumusan Hipotesisnya adalah

Ho  :  σ2 =  σo2             Ha  :  σ2   <  σo2

Ha  :  σ2  > σo2              Ha  :  σ2  ≠  σo2

II. Pengujian Hipotesis untuk dua Varians

Alat pengujiannya adalah sbb :    Fo  =  S12  /  S22 ,  dimana Fo

mengikuti Fungsi F dengan derajat kebebasan (n1-1), (n2-1)

Perumusan Hipotesisnya adalah sebagai berikut  :

Ho :  σ12 – σ22 ( tak ada perbedaan atau sama )

Ha  : σ12 ≠ σ22 ( ada perbedaan  )

S12 dan S22 varians sampel dan merupakan penduga σ12 dan σ22.

Angka ini diperoleh dari dua sampel yang bebas satu sama lain yang ditarik dari dua populasi. Apabila sampel tersebut besar, varians sampel akan mendekati varians yang sebenarnya yang dihitung dari seluruh elemen populasi S12 dan S22. Dalam hal ini apabila Ho benar, nilai Fo akan mendekati 1, maka dari itu, nilai Fo yang mendekati 0 atau menjahui 1 akan cenderung menolak Ho. Tabel F hanya memberikan nilai F yang besar untuk kurva sebelah kanan.

MATERI 11

 STATISTIKA NON PARAMETRIK I

 Tujuan Instruksional Umum :

  1. Mahasiswa mampu memahami apa yang dimaksud dengan Statistika Non Parametrik
  2. Mahasiswa mampu memahami kegunaan dari Statistika Non Parametrik
  3. Mahasiswa mampu memahami pengujian-pengujian yang dilakukan didalam Statistika Non Parametrik

Tujuan Instruksional Khusus :

  1. Mahasiswa mampu untuk menghitung Uji Tanda (Sign Test)
  2. Mahasiswa mampu menghitung Uji Mann Whitney
  3. Mahasiswa mampu menghitung Uji Wilcoxon (Wilcoxon Rank Test)
  4. Mahasiswa mampu menghitung uji Kruskal Wallis

STATISTIKA NON PARAMETRIK I

  A. Pendahuluan

* Metode Non Parametrik = statistic bebas distribusi

* Dua asumsi tentang sampel yaitu :

~ Observasi sampel harus independen dan random

~ Variabel harus continue

* Metode ini berguna apabila sifat observasi datanya hanya dapat dinyatakan dalam urutan (order) atau pangkat (rank) tetapi tidak dapat diukur pada skala kuantitatif.

B. Berbagai Macam Uji Non-Parametrik

1. Pengujian Tanda (the sign test)

Uji Tanda I

  • Jika data berbentuk ordinal (peringkat)
  • Melihat apakah ada beda sampel yang satu dengan yang lain.
  • Pada uji tanda tidak memperhatikan besarnya perbedaan, tetapi hanya tanda “Positip” atau”negatif” dan apabila tidak ada perbedaan diberikan tanda “Nol”.

Langkah-langkah uji tanda

  1. Merumuskan hipotesa
  2. Memilih taraf nyata atau  a
  3. Menghitung frekuensi tanda, yaitu yang mempunyai tanda  + atau – , sementara tanda Nol tidak dipergunakan.
  4. Menentukan nilai “r” yaitu jumlah objek yang  memiliki jumlah paling kecil.
  5. Menentukan probablitas hasil sampel yang di observasi, dengan rumus:
  1. Kesimpulan: Menerima Ho, apabila taraf nyata (a) < probablitas hasil sampel dan menolak Ho apabila taraf nyata (a) > probablitas hasil sampel

a. Pengujian dengan sample kecil

H0 : P = P0 atau H0 : P = 0,50

H1 : P ≠ P0 atau H1 : P ≠ 0,50

Contoh :

Nomor PartaiJml Produk rusak per partai = X1Jml Produk rusak per partai = X2TandaX1 – X2
01138135+
02135139–
03130140–
04180165+
05146115+
06135136–
07148135+
08165163+
09190193–
1011085+
11137130+
12163150+
13160162–
14129119+
15149150–
16206173+
17165151+
18119125–
19167155+
20125130–
  1. H0 : P = 0,50 ;  P > 0,50
  2. α = 0,05
  3. Stat. Uji : X = Sp = jumlah tanda positif (+)
  1. Daerah Kritis :

Dari table binomial kumulatif untuk n = 20, p = 0,5

Nilai yang mendekati α = 0,05 adalah 0,058 untuk X = r = 14

Maka daerah kritis adalah X ≥ 14, tolak H0

  1. Hasil Observasi sampel ialah X = Sp = 12
  2. Kesimpulan :

Karena 12 < 14 maka H0 : P = 0,50 ; H0 diterima.

Maka tidak cukup alasan guna menolak Hipotesis yang menyatakan bahwa jumlah produk rusak per partai dari hasil penggunaan mesin M1 dan M2 adalah identik.

b. Pengujian dengan Sampel Besar ( n > 30)

μx = np = 20 . 0,50 = 10

  1. H0 :  μx  = 10  ;  H1 :  μx  ≠ 10
  2. α = 0,05
  3. Daerah Kritis :
  4. Stat. Uji : Z =

Z > Zα/2  dan Z < – Zα/2  atau

Z > 1,96 dan Z < – 1,96

  1. τx = √ np (1- p)

= √ 20 . 0,5 . 0,5  = 2,23607

Z  = 12 -10     = 0,89443

2,23607

Karena 0,89443 < 1,96 maka kita tidak ada alasan guna menolak H0 :  μx  = 10, Maka Hal ini berarti jumlah produk rusak per partai dari kedua mesin adalah identik.

Uji Tanda II

  1. Uji Tanda satu sample

Contoh Soal : berikut ini adalah hasil penelitian dari jajak pendapat mengenai lokasi yang diinginkan oleh beberapa pedagang kaki lima

Nomor PedagangLokasi Yang dikehendakiTanda 
1234567891011121314151617181920Lokasi baruLokasi baruLokasi lamaLokasi baruLokasi lamaLokasi lamaLokasi baruLokasi lamaLokasi lamaLokasi lamaLokasi baruLokasi baruLokasi lamaLokasi lamaLokasi lamaLokasi baruLokasi lamaLokasi lamaLokasi lamaLokasi baru++0+00+000++000+000+

Rata-rata :

Standar Deviasi :

Jumlah tanda + = 8.

H0 : diduga jumlah pedagang yang memilih lokasi baru sama dengan jumlah pedagang yang memilih lokasi lama

Ha : Diduga jumlah pedang yang memilih lokasi lama tidak sama dengan jumlah pedangan yang memilih lokasi baru

Kesimpulan : Terima H0

  1. Uji Tanda dua sample

Contoh : berikut ini adalah hasil tes statistic mahasiswa dengan dua dosen yang berbeda

MahasiswaDosen ADosen B
123456789101112131415161718192090857080605572675678826665897584775088978075678567507570507480636090808775569087
MahasiswaDosen ADosen BPerbedaan
123456789101112131415161718192090857080605572675678826665897584775088978075678567507570507480636090808775569087—++-++—–+++-++-

H0 : Tidak ada perbedaan nilai antara mahasiswa yang diajar dosen A dengan mahasiswa yang diajar dosen B

Ha : Tidak ada perbedaan nilai antara mahasiswa yang diajar dosen A dengan mahasiswa yang diajar dosen B

2.  Pengujian Pangkat Bertanda ( Wilcoxon’s signed rank test)

  1. Uji Tanda Wilcoxon hanya melihat perbedaan dan arah tanpa melihat besarnya perbedaan.
  2. Berikut adalah langkah-langkah dalam  Wilcoxon Signed-rank test

Langkah – Langkah :

  1. Merumuskan hipotesa
  2. Menentukan nilai kritis. Nilai kritis diperoleh dengan mempergunakan tabel uji  peringkat bertanda Wilcoxon. Dan sebelumnya memilih taraf nyata (merupakan tingkat toleransi terhadap kesalahan kita terhadap sampel =  a).
  3. Menentukan nilai statistik Wilcoxon, dengan cara :

–     Membuat perbedaan data berpasangan tanpa memperhatikan tanda.

–     Memberikan ranking, tanpa memperhatikan tanda

–     Memisahkan nilai ranking yang positif dan negatif.

–     Menjumlahkan nilai rangking  yang positif dan negatif. Nilai terkecil merupakan nilai statistik Wilcoxon.

  1. Menentukan keputusan. Jika nilai statistik Wilcoxon < nilai kristis, maka Tolak Ho dan terima H1, begitu sebaliknya.

a. Pengujian dengan Sampel Kecil

Contoh :

Nomor PasJml. Produk rusak dari M1 & M2Pangkat Bertanda = τ
X1X2X1 – X2PangkatNegatifPositif
01138135+35,5+5,5
02135139-47-7
03130140-1011,5-11,5
04180165+1517+17
05146115+3119+19
06135136-11,5-1,5
07148135+1314,5+14,5
08165163+23,5+3,5
09190193-35,5-5,5
1011085+2,518+18
11137130+710+10
12163150+1314,5+14,5
13160162-23,5-3,5
14129119+1011,5+11,5
15149150-11,5-1,5
16206173+3320+20
17165151+1416+16
18119125-69-9
19167155+1213+13
20125130-58-8
-47,5+162,5

Uji Hipotesa :

  1. H0 : Jml produk rusak per partai M1 = Jml Produk rusak per partai M2

H1 : Jml produk rusak per partai M1 ≠ Jml Produk rusak per partai M2

  1. α = 0,05
  2. Stat. Uji τ : hasil penjumlahan yang terkecil dari nilai –nilai pangkat bertanda yang sama.

Untuk contoh soal : τ = 47,5

  1. Daerah Kritis :

Untuk n = 20, α = 0,05 ; pada tabel XIII, secara dua arah sehingga nilai kritisnya adalah 52.

Maka daerah Kritis : τhit  ≤ 52, H0 ditolak.

  1. Hasil Observasi Sampel :

τ = 47,5 , karena τhit  < 52 maka H0 ditolak

  1. Kesimpulan : Jml produk rusak per partai dari M1 ≠ Jml Produk rusak per partai dari M2

b. Pengujian dengan Sampel Besar

Jika pasangan n ternyata sama = atau lebih besar daripada 8 maka distr. Var. Random τ akan kurang lebih normal dengan rata-rata :

E (τ ) = n (n+1)

4

∂ (τ ) = √ n (n+1) (2n+1)

24

Stat.Uji : Z = τ – E (τ )

∂ (τ )

Contoh :

  1. H0 : Jml produk rusak per partai M1 = Jml Produk rusak per partai M2
  2. H1 : Jml produk rusak per partai M1 ≠ Jml Produk rusak per partai M2
  3. α = 0,05
  4. Stat. Uji : Z = τ – E (τ )

∂ (τ )

  1. Daerah Kritis :

Z > Zα/2  dan Z < – Zα/2  atau

Z > 1,96 dan Z < – 1,96

  1. E (τ ) = 20 (20 +1) = 105

4

∂ (τ ) = √{20(20+1)} {2 (20+1)}

24

= 26,7862

Z  =  47,5 – 105  =  -2,33329

26,7862

Karena – 2,33329 > -1,96 maka kita seharusnya menolak hipotesis yang menyatakan bahwa Jml produk rusak per partai dri M1 sama dengan Jml Produk rusak per partai dari M2 .

3. Pengujian Mann-Withney U

Untuk menguji hipotesis nol yang menyatakan bahwa tidak ada perbedaan yang sesungguhnya antara kedua kelompok data dan dimana data tersebut diambil dari dua sampel yang tidak saling terkait.

Prosedur pengujian Mann – Whitney

  1. Menyatakan hipotesis dan α
  2. Menyusun peringkat data tanpa memperhatikan kategori sample
  3. Menjumlahkan peringkat menurut tiap kategori sample dan menghitung statistik U.

Stat.

atau

dimana :

R1 : jml peringkat yang diberikan pada sampel dengan jml n1

R2 : jml peringkat yang diberikan pada sampel dengan jml n2

~ Penarikan kesimpulan statistik mengenai hipotesis nol.

Contoh :

Gaji sarjana yang berkonsentrasi di bidang manajemen pemasaran dan sarjana yang berkonsentrasi di bidang keuangan yang telah lulus 10 tahun lalu, diberikan dalam tabel berikut :

Konsentrasi PemasaranPendapatan tahunan (ribuan)Peringkat pendapatanKonsentrasi keuanganPendapatan tahunan (ribuan)Peringkat pendapatan
Ali22,4 (14)14Lee21,9 (13)13
Ani17,8 (3)2Leman16,8 (1)1
Ira26,5 (15)15Frank28,0 (16)16
Sari19,3 (7)7David19,5 (9)9
Tomi18,2 (5)4,5Toni18,2 (4)4,5
Budi21,1 (12)12Sam17,9 (3)3
Fani19,7 (10)10Carter35,8 (17)17
Kiki43,5 (18)18Wati20,5 (11)11
 Tita18,7 (6)6
 Laura19,4 (8)8
n1 = 8R1 = 82,5n2 = 10R2 = 88,5
  1. H0 :  Gaji alumni dari kedua konsentrasi sama

H1 :  Gaji alumni dari konsentrasi pemasaran lebih tinggi daripada konsentrasi    keuangan

  1. α = 0,01
  2. Uji Stat :

µ = 8.10 + 8.9 – 82,5 = 33,5

2

atau

µ = 8.10 + 10.11 – 88,5 = 46,5

2

Nilai µ terkecil = n1n2 – nilai µ terbesar

= 8.10 – 46,5

= 33,5

  1. Daerah Kritis :

µ terkecil ≤ nilai dalam tabel µ , tolak H0

  1. Kesimpulan : karena 33,5 > 13, maka terima H0.

Maka tidak terdapat perbedaan gaji yang nyata antara alumni konsentrasi pemasaran dan alumni konsentrasi keuangan.

Uji Mann Whitney II

Rata-rata Populasi:

Standard Deviasi

Rata-rata Sampel :

dan  dipilih yang nilainya paling kecil

Z hitung :

Contoh : berikut ini adalah data penjualan setelah beriklan di TV dan setelah beriklan diradio.

TokoRadioTV
ABCDEFGHIJKLMOPQRST70726968717375777680799091949596979910020(2)2321(3)19(1)242726252830293733313234363940

H0: tidak terdapat perbedaan jumlah penjualan setelah beriklan di TV dengan Radio

Ha: terdapat perbedaan jumlah penjualan setelah beriklan di TV dengan Radio

Ranking :

TokoRadioTV
ABCDEFGHIJKLMOPQRST70726968717375777680799091949596979910020232119242726252830293733313234363940

Kesimpulan : Terima Ha

LAtihan Soal

Contoh : berikut ini adalah data nilai kinerja dari dua kelompok karyawan yang sudah ditraining dan yang belum di training

Sudah ditraining(6 Karyawan)Belum Ditraining(7 Karyawan)
786789908976 67658090747782

Apakah terdapat perbedaan penilaian kinerja antara karyawan yang sudah ditraining dengan karywan yang belum ditraining ?

4. Pengujian Kruskal-Wallis

Merupakan generalisasi uji dua sampel Wilcoxon untuk k > 2 sampel. Uji ini digunakan untuk menguji hipotesis nol (H0) bahwa k contoh bebas (sampel bebas) itu berasal dari populasi yang identik.

k

                        h =     12          Σ          ri2   –  3 (n+1)

                                n (n+1)    i=1       n1

bila h > X2α, k-1 maka H0 ditolak pada taraf nyata α ,bila h ≤ X2α, k-1 terima H0 .

Contoh :

Dalam percobaan untuk menentukan sistem peluru kendali yang terbaik, dilakukan pengukuran pada laju pembakaran bahan bakarnya. Datanya setelah dikodekan diberikan dalam tabel berikut. Gunakan uji Kruskal Wallis dan taraf nyata 0,05 untuk menguji hipotesis bahwa laju pembakaran bahan bakar sama untuk ketiga sistem tersebut.

Jawab :

Laju pembakaran bahan bakar

Sistem Peluru Kendali
123
24,023,218,4
16,719,819,1
22,818,117,3
19,817,617,3
18,920,219,7
17,818,9
18,8
19,3

1. H0 : µ1 = µ2 = µ3                        H1 : ketiga nilai tengah tidak semuanya sama.

2. α = 0,05

3. Daerah Kritis : h > X20,05 ; 3-1 = 5,991

4. Uji Stat :  dalam tabel diatas kita ubah pengamatan itu menjadi peringkat dan kemudian menjumlahkan semua peringkat untuk masing-masing sistem.

  Peringkat bagi Data Laju pembakaran bahan bakar

Sistem Peluru Kendali
123
19187
114,511
1762,5
14,542,5
9,51613
r1 = 61,059,5
R2 = 63,58
12
r3 = 65,5

n1 = 5 , n2 = 6 , n3 = 8

r1 = 61  ;  r2 = 63,5  ;  r3 = 65,5

maka diperoleh nilai uji stat :

h =   12       [ 612  +  63,52 +  65,52 ] – (3) (20)

19.20       5           6             8

= 1,66

5. Kesimpulan :

Karena h = 1,66 tidak jatuh dalam daerah kritis yaitu h > 5,991 berarti kita tidak mempunyai bukti yang cukup untuk menolak hipotesis bahwa laju pembakaran bahan bakar sama untuk ketiga sistem peluru kendali itu.

Uji Kruskal Walis II

H 0 : tidak terdapat perbedaan dari k kelompok sample

Ha : terdapat perbedaan dari k kelompok sample

Dengan menggunakan table Chi Square ( df = k -1)

Contoh :

Beriut ini adalah jumlah output yang dihasilkan oleh 3 kelompok karyawan, yang belum ditraining, yang sedang diraining dan yang sudah ditraining

Belum diraining(5 karyawan)Sedang ditraining(5 karyawan)Sudah ditraining(4 karyawan)
96128836110182124132135109114149166147

Ranking :

Belum ditraining(5 karyawan)Sedang ditraining(5 karyawan)Sudah ditraining(4 karyawan)
96(4)128(9)83(3)61(1)101(5)82(2)124(8)132(10)135(11)109(6)114(7)149(13)166(14)147(12)

H0 :

Ha :

Chi Square table :

Kesimpulan :

MATERI 12

STATISTIKA NON PARAMETRIK I

 Tujuan Instruksional Umum :

  1. Mahasiswa mampu memahami apa yang dimaksud dengan Statistika Non Parametrik
  2. Mahasiswa mampu memahami kegunaan dari Statistika Non Parametrik
  3. Mahasiswa mampu memahami pengujian-pengujian yang dilakukan didalam Statistika Non Parametrik

Tujuan Instruksional Khusus :

  1. Mahasiswa mampu untuk menghitung Uji Tanda (Sign Test)
  2. Mahasiswa mampu menghitung Uji Mann Whitney
  3. Mahasiswa mampu menghitung Uji Wilcoxon (Wilcoxon Rank Test)
  4. Mahasiswa mampu menghitung uji Kruskal Wallis

STATISTIKA NON PARAMETRIK I

  A. Pendahuluan

* Metode Non Parametrik = statistic bebas distribusi

* Dua asumsi tentang sampel yaitu :

~ Observasi sampel harus independen dan random

~ Variabel harus continue

* Metode ini berguna apabila sifat observasi datanya hanya dapat dinyatakan dalam urutan (order) atau pangkat (rank) tetapi tidak dapat diukur pada skala kuantitatif.

B. Berbagai Macam Uji Non-Parametrik

1. Pengujian Tanda (the sign test)

Uji Tanda I

  • Jika data berbentuk ordinal (peringkat)
  • Melihat apakah ada beda sampel yang satu dengan yang lain.
  • Pada uji tanda tidak memperhatikan besarnya perbedaan, tetapi hanya tanda “Positip” atau”negatif” dan apabila tidak ada perbedaan diberikan tanda “Nol”.

Langkah-langkah uji tanda

  1. Merumuskan hipotesa
  2. Memilih taraf nyata atau  a
  3. Menghitung frekuensi tanda, yaitu yang mempunyai tanda  + atau – , sementara tanda Nol tidak dipergunakan.
  4. Menentukan nilai “r” yaitu jumlah objek yang  memiliki jumlah paling kecil.
  5. Menentukan probablitas hasil sampel yang di observasi, dengan rumus:
  1. Kesimpulan: Menerima Ho, apabila taraf nyata (a) < probablitas hasil sampel dan menolak Ho apabila taraf nyata (a) > probablitas hasil sampel

a. Pengujian dengan sample kecil

H0 : P = P0 atau H0 : P = 0,50

H1 : P ≠ P0 atau H1 : P ≠ 0,50

Contoh :

Nomor PartaiJml Produk rusak per partai = X1Jml Produk rusak per partai = X2TandaX1 – X2
01138135+
02135139–
03130140–
04180165+
05146115+
06135136–
07148135+
08165163+
09190193–
1011085+
11137130+
12163150+
13160162–
14129119+
15149150–
16206173+
17165151+
18119125–
19167155+
20125130–
  1. H0 : P = 0,50 ;  P > 0,50
  2. α = 0,05
  3. Stat. Uji : X = Sp = jumlah tanda positif (+)
  1. Daerah Kritis :

Dari table binomial kumulatif untuk n = 20, p = 0,5

Nilai yang mendekati α = 0,05 adalah 0,058 untuk X = r = 14

Maka daerah kritis adalah X ≥ 14, tolak H0

  1. Hasil Observasi sampel ialah X = Sp = 12
  2. Kesimpulan :

Karena 12 < 14 maka H0 : P = 0,50 ; H0 diterima.

Maka tidak cukup alasan guna menolak Hipotesis yang menyatakan bahwa jumlah produk rusak per partai dari hasil penggunaan mesin M1 dan M2 adalah identik.

b. Pengujian dengan Sampel Besar ( n > 30)

μx = np = 20 . 0,50 = 10

  1. H0 :  μx  = 10  ;  H1 :  μx  ≠ 10
  2. α = 0,05
  3. Daerah Kritis :
  4. Stat. Uji : Z =

Z > Zα/2  dan Z < – Zα/2  atau

Z > 1,96 dan Z < – 1,96

  1. τx = √ np (1- p)

= √ 20 . 0,5 . 0,5  = 2,23607

Z  = 12 -10     = 0,89443

2,23607

Karena 0,89443 < 1,96 maka kita tidak ada alasan guna menolak H0 :  μx  = 10, Maka Hal ini berarti jumlah produk rusak per partai dari kedua mesin adalah identik.

Uji Tanda II

  1. Uji Tanda satu sample

Contoh Soal : berikut ini adalah hasil penelitian dari jajak pendapat mengenai lokasi yang diinginkan oleh beberapa pedagang kaki lima

Nomor PedagangLokasi Yang dikehendakiTanda 
1234567891011121314151617181920Lokasi baruLokasi baruLokasi lamaLokasi baruLokasi lamaLokasi lamaLokasi baruLokasi lamaLokasi lamaLokasi lamaLokasi baruLokasi baruLokasi lamaLokasi lamaLokasi lamaLokasi baruLokasi lamaLokasi lamaLokasi lamaLokasi baru++0+00+000++000+000+

Rata-rata :

Standar Deviasi :

Jumlah tanda + = 8.

H0 : diduga jumlah pedagang yang memilih lokasi baru sama dengan jumlah pedagang yang memilih lokasi lama

Ha : Diduga jumlah pedang yang memilih lokasi lama tidak sama dengan jumlah pedangan yang memilih lokasi baru

Kesimpulan : Terima H0

  1. Uji Tanda dua sample

Contoh : berikut ini adalah hasil tes statistic mahasiswa dengan dua dosen yang berbeda

MahasiswaDosen ADosen B
123456789101112131415161718192090857080605572675678826665897584775088978075678567507570507480636090808775569087
MahasiswaDosen ADosen BPerbedaan
123456789101112131415161718192090857080605572675678826665897584775088978075678567507570507480636090808775569087—++-++—–+++-++-

H0 : Tidak ada perbedaan nilai antara mahasiswa yang diajar dosen A dengan mahasiswa yang diajar dosen B

Ha : Tidak ada perbedaan nilai antara mahasiswa yang diajar dosen A dengan mahasiswa yang diajar dosen B

2.  Pengujian Pangkat Bertanda ( Wilcoxon’s signed rank test)

  1. Uji Tanda Wilcoxon hanya melihat perbedaan dan arah tanpa melihat besarnya perbedaan.
  2. Berikut adalah langkah-langkah dalam  Wilcoxon Signed-rank test

Langkah – Langkah :

  1. Merumuskan hipotesa
  2. Menentukan nilai kritis. Nilai kritis diperoleh dengan mempergunakan tabel uji  peringkat bertanda Wilcoxon. Dan sebelumnya memilih taraf nyata (merupakan tingkat toleransi terhadap kesalahan kita terhadap sampel =  a).
  3. Menentukan nilai statistik Wilcoxon, dengan cara :

–     Membuat perbedaan data berpasangan tanpa memperhatikan tanda.

–     Memberikan ranking, tanpa memperhatikan tanda

–     Memisahkan nilai ranking yang positif dan negatif.

–     Menjumlahkan nilai rangking  yang positif dan negatif. Nilai terkecil merupakan nilai statistik Wilcoxon.

  1. Menentukan keputusan. Jika nilai statistik Wilcoxon < nilai kristis, maka Tolak Ho dan terima H1, begitu sebaliknya.

a. Pengujian dengan Sampel Kecil

Contoh :

Nomor PasJml. Produk rusak dari M1 & M2Pangkat Bertanda = τ
X1X2X1 – X2PangkatNegatifPositif
01138135+35,5+5,5
02135139-47-7
03130140-1011,5-11,5
04180165+1517+17
05146115+3119+19
06135136-11,5-1,5
07148135+1314,5+14,5
08165163+23,5+3,5
09190193-35,5-5,5
1011085+2,518+18
11137130+710+10
12163150+1314,5+14,5
13160162-23,5-3,5
14129119+1011,5+11,5
15149150-11,5-1,5
16206173+3320+20
17165151+1416+16
18119125-69-9
19167155+1213+13
20125130-58-8
-47,5+162,5

Uji Hipotesa :

  1. H0 : Jml produk rusak per partai M1 = Jml Produk rusak per partai M2

H1 : Jml produk rusak per partai M1 ≠ Jml Produk rusak per partai M2

  1. α = 0,05
  2. Stat. Uji τ : hasil penjumlahan yang terkecil dari nilai –nilai pangkat bertanda yang sama.

Untuk contoh soal : τ = 47,5

  1. Daerah Kritis :

Untuk n = 20, α = 0,05 ; pada tabel XIII, secara dua arah sehingga nilai kritisnya adalah 52.

Maka daerah Kritis : τhit  ≤ 52, H0 ditolak.

  1. Hasil Observasi Sampel :

τ = 47,5 , karena τhit  < 52 maka H0 ditolak

  1. Kesimpulan : Jml produk rusak per partai dari M1 ≠ Jml Produk rusak per partai dari M2

b. Pengujian dengan Sampel Besar

Jika pasangan n ternyata sama = atau lebih besar daripada 8 maka distr. Var. Random τ akan kurang lebih normal dengan rata-rata :

E (τ ) = n (n+1)

4

∂ (τ ) = √ n (n+1) (2n+1)

24

Stat.Uji : Z = τ – E (τ )

∂ (τ )

Contoh :

  1. H0 : Jml produk rusak per partai M1 = Jml Produk rusak per partai M2
  2. H1 : Jml produk rusak per partai M1 ≠ Jml Produk rusak per partai M2
  3. α = 0,05
  4. Stat. Uji : Z = τ – E (τ )

∂ (τ )

  1. Daerah Kritis :

Z > Zα/2  dan Z < – Zα/2  atau

Z > 1,96 dan Z < – 1,96

  1. E (τ ) = 20 (20 +1) = 105

4

∂ (τ ) = √{20(20+1)} {2 (20+1)}

24

= 26,7862

Z  =  47,5 – 105  =  -2,33329

26,7862

Karena – 2,33329 > -1,96 maka kita seharusnya menolak hipotesis yang menyatakan bahwa Jml produk rusak per partai dri M1 sama dengan Jml Produk rusak per partai dari M2 .

3. Pengujian Mann-Withney U

Untuk menguji hipotesis nol yang menyatakan bahwa tidak ada perbedaan yang sesungguhnya antara kedua kelompok data dan dimana data tersebut diambil dari dua sampel yang tidak saling terkait.

Prosedur pengujian Mann – Whitney

  1. Menyatakan hipotesis dan α
  2. Menyusun peringkat data tanpa memperhatikan kategori sample
  3. Menjumlahkan peringkat menurut tiap kategori sample dan menghitung statistik U.

Stat.

atau

dimana :

R1 : jml peringkat yang diberikan pada sampel dengan jml n1

R2 : jml peringkat yang diberikan pada sampel dengan jml n2

~ Penarikan kesimpulan statistik mengenai hipotesis nol.

Contoh :

Gaji sarjana yang berkonsentrasi di bidang manajemen pemasaran dan sarjana yang berkonsentrasi di bidang keuangan yang telah lulus 10 tahun lalu, diberikan dalam tabel berikut :

Konsentrasi PemasaranPendapatan tahunan (ribuan)Peringkat pendapatanKonsentrasi keuanganPendapatan tahunan (ribuan)Peringkat pendapatan
Ali22,4 (14)14Lee21,9 (13)13
Ani17,8 (3)2Leman16,8 (1)1
Ira26,5 (15)15Frank28,0 (16)16
Sari19,3 (7)7David19,5 (9)9
Tomi18,2 (5)4,5Toni18,2 (4)4,5
Budi21,1 (12)12Sam17,9 (3)3
Fani19,7 (10)10Carter35,8 (17)17
Kiki43,5 (18)18Wati20,5 (11)11
Tita18,7 (6)6
Laura19,4 (8)8
n1 = 8R1 = 82,5n2 = 10R2 = 88,5
  1. H0 :  Gaji alumni dari kedua konsentrasi sama

H1 :  Gaji alumni dari konsentrasi pemasaran lebih tinggi daripada konsentrasi    keuangan

  1. α = 0,01
  2. Uji Stat :

µ = 8.10 + 8.9 – 82,5 = 33,5

2

atau

µ = 8.10 + 10.11 – 88,5 = 46,5

2

Nilai µ terkecil = n1n2 – nilai µ terbesar

= 8.10 – 46,5

= 33,5

  1. Daerah Kritis :

µ terkecil ≤ nilai dalam tabel µ , tolak H0

  1. Kesimpulan : karena 33,5 > 13, maka terima H0.

Maka tidak terdapat perbedaan gaji yang nyata antara alumni konsentrasi pemasaran dan alumni konsentrasi keuangan.

Uji Mann Whitney II

Rata-rata Populasi:

Standard Deviasi

Rata-rata Sampel :

dan  dipilih yang nilainya paling kecil

Z hitung :

Contoh : berikut ini adalah data penjualan setelah beriklan di TV dan setelah beriklan diradio.

TokoRadioTV
ABCDEFGHIJKLMOPQRST70726968717375777680799091949596979910020(2)2321(3)19(1)242726252830293733313234363940

H0: tidak terdapat perbedaan jumlah penjualan setelah beriklan di TV dengan Radio

Ha: terdapat perbedaan jumlah penjualan setelah beriklan di TV dengan Radio

Ranking :

TokoRadioTV
ABCDEFGHIJKLMOPQRST70726968717375777680799091949596979910020232119242726252830293733313234363940

Kesimpulan : Terima Ha

LAtihan Soal

Contoh : berikut ini adalah data nilai kinerja dari dua kelompok karyawan yang sudah ditraining dan yang belum di training

Sudah ditraining(6 Karyawan)Belum Ditraining(7 Karyawan)
786789908976 67658090747782

Apakah terdapat perbedaan penilaian kinerja antara karyawan yang sudah ditraining dengan karywan yang belum ditraining ?

4. Pengujian Kruskal-Wallis

Merupakan generalisasi uji dua sampel Wilcoxon untuk k > 2 sampel. Uji ini digunakan untuk menguji hipotesis nol (H0) bahwa k contoh bebas (sampel bebas) itu berasal dari populasi yang identik.

k

                        h =     12          Σ          ri2   –  3 (n+1)

                                n (n+1)    i=1       n1

bila h > X2α, k-1 maka H0 ditolak pada taraf nyata α ,bila h ≤ X2α, k-1 terima H0 .

Contoh :

Dalam percobaan untuk menentukan sistem peluru kendali yang terbaik, dilakukan pengukuran pada laju pembakaran bahan bakarnya. Datanya setelah dikodekan diberikan dalam tabel berikut. Gunakan uji Kruskal Wallis dan taraf nyata 0,05 untuk menguji hipotesis bahwa laju pembakaran bahan bakar sama untuk ketiga sistem tersebut.

Jawab :

Laju pembakaran bahan bakar

Sistem Peluru Kendali
123
24,023,218,4
16,719,819,1
22,818,117,3
19,817,617,3
18,920,219,7
17,818,9
18,8
19,3

1. H0 : µ1 = µ2 = µ3                        H1 : ketiga nilai tengah tidak semuanya sama.

2. α = 0,05

3. Daerah Kritis : h > X20,05 ; 3-1 = 5,991

4. Uji Stat :  dalam tabel diatas kita ubah pengamatan itu menjadi peringkat dan kemudian menjumlahkan semua peringkat untuk masing-masing sistem.

  Peringkat bagi Data Laju pembakaran bahan bakar

Sistem Peluru Kendali
123
19187
114,511
1762,5
14,542,5
9,51613
r1 = 61,059,5
R2 = 63,58
12
r3 = 65,5

n1 = 5 , n2 = 6 , n3 = 8

r1 = 61  ;  r2 = 63,5  ;  r3 = 65,5

maka diperoleh nilai uji stat :

h =   12       [ 612  +  63,52 +  65,52 ] – (3) (20)

19.20       5           6             8

= 1,66

5. Kesimpulan :

Karena h = 1,66 tidak jatuh dalam daerah kritis yaitu h > 5,991 berarti kita tidak mempunyai bukti yang cukup untuk menolak hipotesis bahwa laju pembakaran bahan bakar sama untuk ketiga sistem peluru kendali itu.

Uji Kruskal Walis II

H 0 : tidak terdapat perbedaan dari k kelompok sample

Ha : terdapat perbedaan dari k kelompok sample

Dengan menggunakan table Chi Square ( df = k -1)

Contoh :

Beriut ini adalah jumlah output yang dihasilkan oleh 3 kelompok karyawan, yang belum ditraining, yang sedang diraining dan yang sudah ditraining

Belum diraining(5 karyawan)Sedang ditraining(5 karyawan)Sudah ditraining(4 karyawan)
96128836110182124132135109114149166147

Ranking :

Belum ditraining(5 karyawan)Sedang ditraining(5 karyawan)Sudah ditraining(4 karyawan)
96(4)128(9)83(3)61(1)101(5)82(2)124(8)132(10)135(11)109(6)114(7)149(13)166(14)147(12)

H0 :

Ha :

Chi Square table :

Kesimpulan :